¿Qué es el teorema central del límite (TCL)?

El teorema del límite central es una teoría estadística que establece que, independientemente de cuál sea la distribución original de la población, al tomar muestras aleatorias de la población, la distribución de las medias o sumas de las muestras aleatorias se aproxima a una distribución normal, con una media igual a la media de la población, además, el TCL afirma que a medida que el tamaño de la muestra aumenta, la media muestral se acercará a la media de la población:

imagen Wikipedia

Ejemplo del teorema central del límite

Imaginemos que queremos analizar las rentabilidades medias históricas de los clientes de una empresa y sabemos que esa empresa tiene unos 2000 clientes. Pero no tenemos suficiente información como para analizar a los 2000 clientes. En este caso la rentabilidad media de los clientes de la compañía será la media poblacional.

Si aplicamos el Teorema Central del Límite podemos coger una muestra de estos 2000 clientes para realizar el análisis donde tengamos toda la información necesaria. La única limitación que tenemos es que en la muestra tiene que haber más de 30 clientes para que se cumpla el teorema. Entonces imaginemos que cogemos 50 clientes de manera aleatoria y repetimos el proceso varias veces. Los pasos a seguir serían los siguientes:

Elegimos la muestra de unos 50 clientes y obtenemos la rentabilidad media de la muestra.

Repetimos el paso anterior de manera continuada escogiendo 50 clientes y obtenemos la rentabilidad media.

La distribución de todas las rentabilidades medias de todas las muestras escogidas se aproximará a una distribución normal.

Las rentabilidades medias de todas las muestras seleccionadas se aproximará a la rentabilidad media del total de clientes de la compañía (2000 clientes) tal y como demuestra el teorema Central del Límite.