Ejemplo práctico de intervalo de confianza

En este blog, publicamos una entrada sobre los intervalos de confianza para un promedio. En dicho post estudiamos su teoría y la correcta interpretación:


Si el intervalo en cuestión es (a,b). Pues bien, esto quiere decir que si elegimos 100 muestras de tamaño 50 y cada vez calculamos el intervalo de confianza resultante, acertaremos en nuestro pronóstico en 95 de las 100 veces que realizaríamos la estimación con cada muestra.

Ejemplo práctico:

Los siguientes datos son las puntuaciones obtenidas para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntuación significa mayor depresión). 

Para construir un intervalo de confianza para la puntuación promedio poblacional, asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacional desconocida. Como la varianza poblacional es desconocida, lo estimamos por s2=18,7. Luego, un intervalo de confianza aproximado es:

Luego, el intervalo de confianza para Nu es (13,2 , 15,8). Es decir, la puntuación promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.

Intervalos de Confianza

Para interpretar bien estos conceptos veamos un ejemplo:

Supongamos que deseamos estimar la media de la estatura de una población mediante un intervalo de confianza al 95% de nivel de confianza, con una muestra de tamaño 50. Supongamos que tras los cálculos necesarios, el intervalo en cuestión es (a,b). Pues bien, esto quiere decir que si elegimos 100 muestras de tamaño 50 y cada vez calculamos el intervalo de confianza resultante, acertaremos en nuestro pronóstico en 95 de las 100 veces que realizaríamos la estimación con cada muestra.

Intervalo de confianza para un promedio:

Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza para la media poblacional, la varianza poblacional es desconocida, por lo que el intervalo para construido al final es muy poco práctico.

Si en el intervalo se reemplaza la desviación estándar poblacional por la desviación estándar muestral s, el intervalo de confianza toma la forma:

La cual es una buena aproximación para el intervalo de confianza de 95% para la media con varianza poblacional desconocida. Esta aproximación es mejor en la medida que el tamaño muestral sea grande. 

Cuando el tamaño muestral es pequeño, el intervalo de confianza requiere utilizar la distribución t de Student (con n-1 grados de libertad, siendo n el tamaño de la muestra), en vez de la distribución normal (por ejemplo, para un intervalo de 95% de confianza, los límites del intervalo ya no serán construidos usando el valor 1,96).

Foro Estadístico: análisis de muestra de documentos

Estrenamos una nueva sección en el Blog con el objetivo de ayudar a nuestros lectores a resolver dudas relacionadas con la estadística. 

En esta ocasión nos escribe Alberto Vallejo con la siguiente consulta: estoy realizando un análisis de una muestra de documentos (audiovisuales por ejemplo), la pregunta es: ¿es posible duplicar unidades de análisis en los casos en los que tal unidad represente varias temáticas? Por ejemplo, si son películas y una de ellas encaja en tres géneros, la puedo considerar 3 veces para su análisis.

Cálculo y Análisis de los Percentiles, Cuartiles y Deciles

Los cuantiles suelen usarse por grupos que dividen la distribución en partes iguales; entendidas estas como intervalos que comprenden la misma proporción de valores. Los más usados son:

• Los Cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes (corresponden a los cuantiles 0.25, 0.50 y 0.75);
• Los Quintiles, que dividen a la distribución en cinco partes (corresponden a los cuantiles 0.20, 0.40, 0.60 y 0.80) ;
• Los Deciles, que dividen a la distribución en diez partes;
• Los Percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.

Por ejemplo, el cuantil de orden 0.36 dejaría un 36% de valores por debajo y el cuantil de orden 0.50 se corresponde con la mediana de la distribución.

En el cálculo de cuantiles con distribuciones de variable continua (por ejemplo, con datos agrupados) puede conseguirse fácilmente que las partes en que se divide la distribución sean exactamente iguales. Sin embargo, en las distribuciones de variable discreta (como el caso de datos aislados) debemos conformarnos con que estas partes sean aproximadamente iguales.

Cuartiles

Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales. La diferencia entre el tercer cuartil y el primero se conoce como rango intercuartílico. Se representa gráficamente como la anchura de las cajas en los llamados diagramas de cajas.

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P50 coincide con la mediana.

Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra:

, en la tabla de las frecuencias acumuladas. 

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.

a_i es la amplitud de la clase.

Se representan con la letra P. Para el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 99. El i % de la muestra son valores menores que él y el 100-i % restante son mayores.

• P₂₅ = Q₁.
• P₅₀ = Q₂ = mediana.
• P₇₅ = Q₃.

¿Cómo se interpretan los percentiles?

Con ayuda de un ejemplo veremos lo sencillo que es interpretar los percentiles:

• Cuando el pediatra nos dice que el niño está en el percentil 25 de altura, significa que de cada 100 niños de su edad, 75 son más altos que nuestro hijo y 24 serían más bajos.  
• Por el contrario, si nuestro bebé en el percentil 90 de altura significa que, de cada 100 bebés, solo hay 10 que midan más que nuestro niño, por lo que habría 89 que medirían menos. 
• El percentil 50 es la media, por lo queque si tu hijo se encuentra en este percentil mide lo mismo que el 50 por ciento de los niños de su misma edad y sexo.